Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍

Answer 1

(1) 略．
(2)

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，其定義域是………1分
∴                  ………………………2分  
令，即，解得或．
，∴ 舍去．                         …………………3分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴ 當(dāng)x =1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．
當(dāng)時(shí)，，即．
∴ 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．                      ………………………6分 
（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164823341410.gif" style="vertical-align:middle;" />
∴ ……………7分
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間
上為增函數(shù)，不合題意………9分
②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即
此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
依題意，得解之得．                    …………………9分
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即
此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
∴    得            ………………………11分
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是
         ………………………12分
法二：
①當(dāng)時(shí)，
在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……………7分
②當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
只需在區(qū)間上恒成立，只要恒成立，
解得或                  ………………………11分
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是
        ………………………12分