Question

已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然數(shù)的底數(shù)，a∈R.

(1)當a<0時，解不等式f(x)>0；

(2)若f(x)在[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)當a＝0時，求整數(shù)k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．

 

Answer 1

（1）（2）（3）{－3，1}

【解析】(1)因為ex>0，所以不等式f(x)>0即為ax2＋x>0.

又a<0，所以不等式可化為x <0，所以不等式f(x)>0的解集為.

(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x)ex＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]ex，

①當a＝0時，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，當且僅當x＝－1時取等號，故a＝0符合要求；

②當a≠0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，因為Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，所以g(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，不妨設(shè)x1>x2，因此f(x)有極大值又有極小值．若a>0，因為g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)內(nèi)有極值點，故f(x)在[－1，1]上不單調(diào)．若a<0，可知x1>0>x2，因為g(x)的圖象開口向下，要使f(x)在[－1，1]上單調(diào)，因為g(0)＝1>0，必須滿足即所以－≤a≤0.綜上可知，a的取值范圍是.

(3)當a＝0時，方程即為xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等價于ex－－1＝0.

令h(x)＝ex－－1，因為h′(x)＝ex＋>0對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，h(－2)＝e－2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[－3，－2]上，所以整數(shù)k的所有值為{－3，1}