分析 (I)連接A1B,由中位線定理得EF∥A1B,故而EF∥平面A1B1BA;
(II)取BB1的中點(diǎn)M,連接ME,A1E,則∠A1EM為異面直線A1E與B1C所成角,求出△A1EM的邊長(zhǎng),利用余弦定理求出∠A1EM的大小;
(III)取B1C的中點(diǎn)N,連接NE,A1N.則A1N∥AE,AE⊥平面B1BC,故而AN⊥平面B1BC,∠A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角,計(jì)算tan∠A1B1N=A1NB1N即可得出∠A1B1N的大�。�
解答 解:(I)連接A1B,
∵E,F(xiàn)分別是BC,A1C的中點(diǎn),
∴EF∥A1B,
又A1B?平面A1B1BA,EF?平面A1B1BA,
∴EF∥平面A1B1BA.
(II)取BB1的中點(diǎn)M,連接ME,A1E,
∵M(jìn),E分別是BB1,BC的中點(diǎn),
∴B1C∥ME,∴∠A1EM為異面直線A1E與B1C所成角.
∵AB=AC=3,BC=2√5,∴BE=12BC=√5,AE=√AB2−BE2=2,
∵AA1=√7,BB1=2√7,∴BM=12BB1=√7.
∴ME=√MB2+BE2=2√3,A1E=√AA12+AE2=√11,A1M=AB=3.
∴cos∠A1EM=A1E2+ME2−A1M22A1E•ME=11+12−92•√11•2√3=7√3366.
∴∠A1EM=arccos7√3366.
∴異面直線A1E與B1C所成角的大小為arccos7√3366.
(III)取B1C的中點(diǎn)N,連接NE,A1N.
∵NE是△B1BC的中位線,
∴NE∥=12BB1,又AA1∥=12BB1,
∴NE∥=AA1,
∴四邊形AA1NE是平行四邊形,∴AE∥A1N.
∵AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,
∴BB1⊥平面ABC,∵AE?平面ABC,
∴BB1⊥AE.又BC⊥AE,BB1?平面B1BC,BC?平面B1BC,BB1∩BC=B,
∴AE⊥平面B1BC,
∴A1N⊥平面B1BC,
∴∠A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角.
∵B1N=12B1C=ME=2√3,A1N=AE=2,
∴tan∠A1B1N=A1NB1N=√33.
∴∠A1B1N=30°.
∴直線A1B1與平面BCB1所成角為30°.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定,空間角的計(jì)算,作出要求的空間角是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.
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