Question

2．2016高考成績揭曉，漯河高中再創(chuàng)輝煌，考后學校對于單科成績逐個進行分析：現(xiàn)對甲、乙兩個文科班的數(shù)學成績進行分析，規(guī)定：大于等于135分為優(yōu)秀，135分以下為非優(yōu)秀，成績統(tǒng)計后，得到如下的2×2列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{11}$．

班級	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計
甲班	18
乙班		43
合計			110

（1）請完成上面的列聯(lián)表
（2）請問：是否有75%的把握認為“數(shù)學成績與所在的班級有關系”？
（3）用分層抽樣的方法從甲、乙兩個文科班的數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中抽取5名學生進行調研，然后再從這5名學生中隨機抽取2名學生進行談話，求抽到的2名學生中至少有1名乙班學生的概率．
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05
k0	1.323	2.072	2.706	3.841

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接填寫聯(lián)列表即可．
（2）求出k²，即可判斷“數(shù)學成績與所在的班級有關系”．
（3）從甲班成績優(yōu)秀的學生中抽取3名，分別記為A₁，A₂，A₃，從乙班成績優(yōu)秀的學生中抽取2名，分別為B₁，B₂，列出所有基本事件，設“抽到的2名學生中至少有1名乙班學生”為事件A，求出事件A包含的基本事件個數(shù)，然后求解概率．

解答 解：（1）

班級	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計
甲班	18	37	55
乙班	12	43	55
合計	30	80	110

…（3分）
（2）由題意得${K^2}=\frac{{110{{（18×43-12×37）}^2}}}{55×55×30×80}=1.65＞1.323$
所以有75%的把握認為“數(shù)學成績與所在的班級有關系”…（6分）
（3）因為甲、乙兩個班數(shù)學成績優(yōu)秀的學生人數(shù)的比例為18：12=3：2，所以從甲班成績優(yōu)秀的學生中抽取3名，分別記為A₁，A₂，A₃，從乙班成績優(yōu)秀的學生中抽取2名，分別為B₁，B₂，則從抽取的5名學生中隨機抽取2名學生的所有基本事件有A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₁A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，B₁B₂，共10個
設“抽到的2名學生中至少有1名乙班學生”為事件A，則事件A包含的基本事件有A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，B₁B₂，共7個，
所以$P（A）=\frac{7}{10}$，即抽到的2名學生中至少有1名乙班學生的概率是$\frac{7}{10}$（12分）

點評 本題考查獨立事件與聯(lián)列表以及古典概型概率的求法，考查分析問題解決問題的能力．