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18.已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx+2.
(I)當(dāng)x>0時(shí),求證:f(x)>g(x);
(Ⅱ)當(dāng)x≥1時(shí),若不等式f(x)≥2ax-a≥g(x)-32恒成立,求a的取值范圍.

分析 (1)對(duì)p(x)求導(dǎo),再令h(x)=p′(x)=0,令x=m(0<m<1),h(x)=0,即em=1m,-m=lnm,再討論0<x<m,x>m,m(x)的單調(diào)性,得到p(x)>p(m),由基本不等式證明p(m)>0即可;
(2)運(yùn)用參數(shù)分離可得x≥1時(shí),a≤ex2x1恒成立,且a≥lnx+122x1恒成立,分別求得右邊函數(shù)的最大值和最小值,由不等式恒成立思想即可得到a的范圍.

解答 (1)證明:令p(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx-2,
∵p′(x)=ex-1x,
令h(x)=p′(x),則h′(x)=ex+1x2>0,
∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
令x=m(0<m<1),h(x)=0,即em=1m,即-m=lnm,
當(dāng)0<x<m時(shí),h(x)<0,則p(x)在(0,m)上遞減,
p(x)>p(m)=em-2-lnm=1m+m-2>2-2=0,
即p(x)>0;
當(dāng)x>m時(shí),h(x)>0,則p(x)在(m,+∞)上遞增,
p(x)>p(m)=1m+m-2>2-2=0,
即f(x)>g(x).
(2)解:當(dāng)x≥1時(shí),若不等式f(x)≥2ax-a≥g(x)-32恒成立,
即為a≤ex2x1恒成立,或a≥lnx+122x1恒成立
令m(x)=ex2x1(x≥1),m′(x)=ex2x32x12,
當(dāng)1≤x<32時(shí),m′(x)<0,m(x)遞減;
當(dāng)x>32時(shí),m′(x)>0,m(x)遞增.
則x=32處m(x)取得極小值,也為最小值,且為12e32
則a≤12e32,①
令n(x)=lnx+122x1(x≥1),
n′(x)=11x2lnx2x12,
由1-1x-2lnx的導(dǎo)數(shù)為1x2-2x=12xx2<0(x≥1),
即有1-1x-2lnx≤0,
即為n′(x)≤0,n(x)在x≥1上遞減,
則n(x)≤n(1)=12
則a≥12
由①②可得12≤a≤12e32

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:判斷函數(shù)的單調(diào)性,以及構(gòu)造函數(shù)的思想,考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
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同步練習(xí)冊(cè)答案
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