已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=a(Sn-an+1)(a為常數(shù),a>0且a≠1).
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=|a|+loga
aan
,若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn中,S5為最大值,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)當(dāng) n≥2時(shí),由 Sn=a(Sn-an+1)可得,sn-1=a(sn-1-an-1+1).兩式相減得:an=a an-1,即數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且首項(xiàng)為a,公比為a,由此求得{an}的通項(xiàng)公式.
(Ⅱ)化簡(jiǎn)數(shù)列{bn}=|a|+1-n,可得 bn+1-bn=-1,即數(shù)列{bn}為以 a為首項(xiàng),公差為-1的等差數(shù)列.由
b5≥0
b6≤0
,解不等式求得a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)s1=a(s1-a1+1),∴a1=a.…(1分)
當(dāng) n≥2時(shí),由 Sn=a(Sn-an+1)可得,sn-1=a(sn-1-an-1+1).
兩式相減得:an=a an-1,…(3分)
由于a為常數(shù),a>0且a≠1,∴
an
an-1
=a,…(4分)
即數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴an=a an-1=an. …(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=|a|+loga
a
an
=|a|+1-n,
∴bn+1=|a|-n,bn+1-bn=-1,
即數(shù)列{bn}為以 a為首項(xiàng),公差為-1的等差數(shù)列. …(8分)
由題意數(shù)列{bn}為遞減數(shù)列且S5為最大值,∴
b5≥0
b6≤0
,…(10分)
-5+|a|+1≥0
-6+|a|+1≤0
,又a>0,解得4≤a≤5.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等比關(guān)系、等差關(guān)系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性,屬于中檔題.
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(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和.

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