Question

如圖，已知拋物線C：x²=4y，過焦點F任作一條直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D（O為坐標原點）．
（Ⅰ）證明：動點D在定直線上；
（Ⅱ）點P為拋物線C上的動點，直線l為拋物線C在P點處的切線，求點Q（0，4）到直線l距離的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）設(shè)AB的方程為y=kx+1，代入x²=4y，整理得x²-4kx-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有：x₁x₂=-4，由直線AO的方程y=

y1

x1

x與BD的方程x=x₂，聯(lián)立即可求得交點D的坐標為

x=x2 y= y1x2 x1

，利用x₁x₂=-4，即可求得D點在定直線y=-1（x≠0）上；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）為C上的點，求導(dǎo)，寫出C在P點處的切線方程，利用點到直線的距離公式即可求得O點到l距離，然后利用基本不等式求出其最小值．

解答： 證明：（I）依題意，可設(shè)AB的方程為y=kx+1，代入x²=4y，得x²=4（kx+1），即x²-4kx-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有：x₁x₂=-4，
直線AO的方程為y=

y1

x1

x；BD的方程為x=x₂．
解得交點D的坐標為

x=x2 y= y1x2 x1

．
注意到x₁x₂=-4及x₁²=4y₁，則有y=

y1x1x2

x12

=

-4y1

4y1

=-1，
因此D點在定直線y=-1（x≠0）上．
（Ⅱ）拋物線C：x²=4y的方程可化為：y=

1

4

x²，
設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C：y=

1

4

x²上一點，因為y′=

1

2

x，所以l的斜率為k=

1

2

x₀，
因此直線l的方程為y-y₀=

1

2

x₀（x-x₀），即x₀x-2y+2y₀-x₀²=0．
則點Q（0，4）到l的距離d=

|-8+2y0- x 2 0 |

4+ x 2 0

．
又y₀=

1

4

x₀²，
所以d=

|-8- 1 2 x 2 0 |

4+ x 2 0

=

1 2 x 2 0 +8

4+ x 2 0

=

1

2

（

4+ x 2 0

+

12

4+ x 2 0

）≥

1

2

×2

4+ x 2 0 • 12 4+ x 2 0

=2

3

，
所以x₀²=8時取等號，
所以Q點到l距離的最小值為2

3

．

點評：本題考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，屬于難題．