Question

7．已知直線l過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點，且交拋物線于A、B兩點，弦AB的中點坐標(biāo)為（1，$\sqrt{2}$），則|AB|等于3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用中點坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=2$\sqrt{2}$，設(shè)出直線方程代入拋物線的方程，消去y，運用韋達定理，解方程可得p，利用弦長公式y(tǒng)₁+y₂+p求出AB的長．

解答 解：拋物線x²=2py的焦點F（0，$\frac{p}{2}$），準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
弦AB的中點坐標(biāo)為（1，$\sqrt{2}$），
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，即x₁+x₂=2，
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，即y₁+y₂=2$\sqrt{2}$，
設(shè)過F（0，$\frac{p}{2}$）的直線方程為y=kx+$\frac{p}{2}$，
代入拋物線的方程，可得x²-2pkx-p²=0，
即有x₁x₂=-p²，
則x₁²+x₂²=2p（y₁+y₂）=4$\sqrt{2}$p，
即有（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4+2p²=4$\sqrt{2}$p，
解得p=$\sqrt{2}$，
由拋物線的定義可得|AB|=y₁+y₂+p=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長問題，一般可以由公式：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|求得；線段中點坐標(biāo)通常與根與系數(shù)的關(guān)系相聯(lián)系，從而簡化解題過程．但對于過焦點的弦長注意圓錐曲線定義的應(yīng)用．