求證：(n+1)(n+2)+(n+3)·…·（n+n）=2n×1×3×5×…×(2n-1).

證明:用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.

根據(jù)歸納法假設(shè)，當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即

(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1).①

要證明n=k+1時(shí)，命題也成立，即

(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)

=2k+1×1×3×5×…×［2(k+1)-1］.②

要用①來(lái)證明②，事實(shí)上，對(duì)等式①兩邊乘以,就湊好了等式②的左邊.接下來(lái)，對(duì)［2k×1×3×5×…×(2k-1)］×恒等變形，可得②式右邊.因此，對(duì)任意n∈N*，原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域、值域均為R，f（x）的反函數(shù)為f-1（x），且對(duì)于任意的x∈R，均有f(x)+f-1(x)＜
5
2
x，定義數(shù)列{an}，a0=8，a1=10，an=f（an-1）（n∈N*）．
（Ⅰ）求證：an+1+an-1＜
5
2
an（n∈N*）．
（Ⅱ）設(shè)bn=an+1-2an（n∈N*），求證：bn＜（-6）•2-n（n∈N*）；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)A，B同時(shí)滿足條件：
①當(dāng)n=0，1時(shí)，an=
A•4n+B
2n
；
②當(dāng)n≥2時(shí)（n∈N*，）an＜
A•4n+B
2n
．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）個(gè)正數(shù)排成一個(gè)n行n列的數(shù)陣：
          第1列     第2列    第3列   …第n列
第1行     a1，1 a1，2 a1，3 …a1，n
第2行     a2，1 a2，2 a2，3 …a2，n
第3行     a3，1 a3，2 a3，3 …a3，n
…
第n行     an，1 an，2 an，3 …an，n
其中ai，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示該數(shù)陣中位于第i行第k列的數(shù)，已知該數(shù)陣中各行的數(shù)依次成等比數(shù)列，各列的數(shù)依次成公比為2的等比數(shù)列，已知a2，3=8，a3，4=20．
（1）求a1，1a2，2；
（2）設(shè)An=a1，n+a2，n-1+a3，n-2+…+an，1求證：An+n能被3整除．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求證：(n+1)(n+2)+(n+3)·…·（n+n）=2n×1×3×5×…×(2n-1).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足(4-p)Sn+3pan=2p+4,其中p為常數(shù),且p＜-2,n∈N*.

(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列{an}的公比q=f(p),數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=f(bn-1)(n≥2),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(3)在(2)的條件下,若(bnlgan)=lg(p),求實(shí)數(shù)p的值.

(文)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足(4-p)Sn+3pan=2p+4,其中p為常數(shù),且p＜-2,n∈N*.

(1)求a1并證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列;

(2)若p=-4,求a4的值;

(3)若數(shù)列{an}的公比q=f(p),數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=f(bn-1)(n≥2),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

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