Question

已知函數(shù)f（x）=

xInx

x-1

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域：
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f′（x）+

a

x-1

對?x∈[2，+∞）均有F（x）≤2成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）令對數(shù)的真數(shù)大于0，分式的分母不為0，列出不等式組，求出x的范圍，寫出集合或區(qū)間即得到函數(shù)的定義域．
（II）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)代入F（x）中得到恒成立的不等式，分離參數(shù)a，構(gòu)造新函數(shù)g（x），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，為判斷g（x）導(dǎo)數(shù)的符號，再構(gòu)造函數(shù)m（x），求出m（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷出其符號，求出m（x）d的最小值，判斷出g（x）導(dǎo)數(shù)的符號判斷出g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，求出a的范圍．

解答：解：（I）由

x＞0 x-1≠0

得函數(shù)的定義域為（0，1）∪（1，+∞）
（II）由已知F（x）=f′（x）+

a

x-1

=

x-1-lnx

(x-1)2

+

a

x-1

≤2在[2，+∞）上恒成立等價于
a≤[2-

x-1-lnx

(x-1)2

](x-1)=2x-3+

lnx

x-1

在[2，+∞）上恒成立
令g（x）=2x-3+

lnx

x-1

（x≥2）
則g′(x)=

2x2-4x+3- 1 x -lnx

(x-1)2

令m（x）=2x2-4x+3-

1

x

-lnx
則m′(x)=(x-1)(4-

1

x2

)
∵x≥2
∴m′（x）＞0
∴m（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，且m（2）=

5

2

-ln2＞0
∴x≥2時，恒有m（x）＞0，也恒有g(shù)′（x）＞0
∴g（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，最小值為g（2）=1+ln2
∴a≤1+ln2
即實數(shù)a的取值范圍（-∞，1+ln2）

點評：解決不等式恒成立問題，一般分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，從而求出參數(shù)的范圍．