Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+

m

ax

-1（a，m為實(shí)常數(shù)，a＞0）．
（1）當(dāng)m＜0，a=2時(shí)，用定義證明：y=f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）設(shè)a=2，g(x)=-

m

2x

，F(xiàn)（x）=|f（x）+g（x）|，請(qǐng)你判斷F（x+1）與F（x）的大小關(guān)系，并說明理由．
（3）當(dāng)m=1，且x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）≥3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m＜0，a=2時(shí)，利用的函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明：y=f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）先求出F（x）的表達(dá)式，即可判斷F（x+1）與F（x）的大小關(guān)系；
（3）將不等式f（x）≥3恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=2x1+

m

2x1

-1-(2x2+

m

2x2

-1)=(2x1-2x2)(1-

m

2x1+x2

)，
∵2x1-2x2＜0，1-

m

2x1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即y=f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）∵F(x)=|f(x)+g(x)|=|2x+

m

2x

-1-

m

2x

|=|2x-1|=

1-2x  x∈(-∞，0) 2x-1  x∈[0，+∞).

，
[f（x+1）]²-[f（x）]²=|2^x+1-1|²-|2^x-1|²=2^x（3•2^x-2），
∴x＞log2

2

3

 時(shí) f(x+1)＞f(x)，
∴x＜log2

2

3

 時(shí) f(x+1)＜f(x)，
∴x=log2

2

3

 時(shí) f(x+1)=f(x)．
（3）∵f（x）≥3在x∈[1，2]上恒成立，即ax+

1

ax

-1=t+

1

t

-1≥3在x∈[1，2]上恒成立．
①當(dāng)a＞1時(shí)，x∈[1，2]，t∈[a，a²]，g(t)=t+

1

t

-1在[a，a²]上單調(diào)遞增，g(t)min=g(a)=a+

1

a

-1≥3⇒a≥2+

3

；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈[1，2]，t∈[a²，a]，g（t）在[a²，a]上單調(diào)遞減，g(t)min=g(a)=a+

1

a

-1≥3⇒0＜a≤2-

3

；
a=1時(shí)明顯不成立，
故a的取值范圍是：(0，2-

3

]∪[2+

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．