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14.已知橢圓C:mx2+3my2=1(m>0)的長軸長為26,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程和離心率;
(2)設(shè)點(diǎn)A(3,0),動點(diǎn)B在y軸上,動點(diǎn)P在橢圓C上,且P在y軸的右側(cè),若|BA|=|BP|,求四邊形OPAB面積的最小值.

分析 (1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,由題意可得a,可得b,即可得到橢圓方程,再由離心率公式計(jì)算即可得到所求值;
(2)設(shè)AP中點(diǎn)為D,由|BA|=||BP|,所以BD⊥AP,求得AP的斜率,進(jìn)而得到BD的斜率和中點(diǎn),可得直線BD的方程,即有B的坐標(biāo),求得四邊形OPAB的面積為S=S△OAP+S△OMB,化簡整理,運(yùn)用基本不等式即可得到最小值.

解答 解:(1)橢圓C:mx2+3my2=1,即為x21m+y213m=1,所以a2=1m,b2=13m
a2=1m,b2=13m,可得2a=21m=26,
m=16,可得a=6,b=2,
即有橢圓C:x26+y22=1,
由c=a22=2,即e=ca=63;
(2)設(shè)AP中點(diǎn)為D,由|BA|=||BP|,所以BD⊥AP,
由題意,可得直線BD的斜率存在,P(x0,y0)(y0≠0),
則D(x0+32,y02),直線AP的斜率為kAP=y0x03,
直線BD的斜率為-1kAP=3x0y0,
可得BD的方程為y-y02=3x0y0(x-x0+32),
令x=0可得y=x02+y0292y0,即B(0,x02+y0292y0),
x026+y022=1,可得x02=6-3y02,
化簡可得B(0,2y0232y0),
則四邊形OPAB的面積為S=S△OAP+S△OMB=12×3|y0|+12×3|2y0232y0|
=32(2|y0|+32|y0|)≥32•22|y0|32|y0|=33,
當(dāng)且僅當(dāng)2|y0|=32|y0|,即y032∈[-2,2]時,等號成立.
所以四邊形OPAB面積的最小值為33

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和離心率的求法,注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)和離心率公式,考查四邊形面積的最值的求法,注意運(yùn)用直線的斜率公式和基本不等式,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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