Question

某市為了解今年高中畢業(yè)生的身體素質(zhì)狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個班進行實心球測試，成績在8米及以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知第一小組為[5，6），從左到右前5個小組的頻率分別為0.06，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小組的頻數(shù)是6．
（1）求這次實心球測試成績合格的人數(shù)；
（2）用此次測試結(jié)果估計全市畢業(yè)生的情況．若從今年的高中畢業(yè)生中隨機抽取兩名，記X表示兩人中成績不合格的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）經(jīng)過多次測試后，甲成績在8～10米之間，乙成績在9.5～10.5米之間，現(xiàn)甲、乙各投一次，求甲投得比乙遠的概率．

Answer 1

解：（1）第6小組的頻率為：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，
此次測試總?cè)藬?shù)為人，
∴第4，5，6組成績均合格，人數(shù)為（0.28+0.30+0.12）×50=35（人）．
（2）X=0，1，2，此次測試中成績不合格的概率為=，
∴X～B（2，），
P（X=0）=，
P（X=1）==，
P（X=2）=，
∴X的分布列為

X	0	1	2
P

∴=．
（3）設(shè)甲、乙各投擲一次的成績?yōu)閤，y米，
由基本事件滿足的區(qū)域為，
“甲投得比乙遠的概率”滿足的區(qū)域為x＞y，（如圖）
∴由幾何概型知=．

分析：（1）第6小組的頻率為：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，此次測試總?cè)藬?shù)為人，由此能求出這次實心球測試成績合格的人數(shù)．
（2）X=0，1，2，此次測試中成績不合格的概率為=，由X～B（2，），能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（3）設(shè)甲、乙各投擲一次的成績?yōu)閤，y米，由基本事件滿足的區(qū)域為，“甲投得比乙遠的概率”滿足的區(qū)域為x＞y，由幾何概型能求出結(jié)果．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．