Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|，
（1）當(dāng)-1≤x≤1時，討論f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)0≤x≤1時，求f（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時a=0，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
此時f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)a≠0時，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，
由f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a），
此時f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a≤0時，∵0≤x≤1時，f（x）=x（x-a）為增函數(shù)，∴x=1時，f（x）_max=f（1）=1-a．
當(dāng)a＞0時，∵0≤x≤1，∴f（x）=|x（x-a）|=|x²-ax|，其圖象如圖所示：
①當(dāng)，即a≥2時，f（x）_max=f（1）=a-1．
②當(dāng)，即時，．
③當(dāng)，即時，f（x）_max=f（1）=1-a．
綜上：當(dāng)時，f（x）_max=1-a；
當(dāng)時，； 當(dāng)a≥2時，f（x）_max=a-1．
分析：（1）當(dāng)時a=0，經(jīng)檢驗 f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)a≠0時，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，此時f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a≤0時，f（x）_max=f（1）=1-a．當(dāng)a＞0時，f（x）=|x²-ax|，其圖象如圖所示：分當(dāng)，
當(dāng)，當(dāng)這三種情況，分別利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．
點評：本題考查判斷函數(shù)的奇偶性的方法，求函數(shù)最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是解題的難點．