Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+mx）e^-x（m∈R）（e為自然對數(shù)的底）．
（1）求證：f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)．
（2）若f（x）=2在（0，2）內(nèi)有解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用反證法證明，假設(shè)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證f′（x）＜0不恒成立，故假設(shè)不成立，結(jié)論成立．
（2）由題意得m=

2ex

x

-x，令h（x）=

2ex

x

-x，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h（x）的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）f′（x）=（2x+m）e^-x-（x²+mx）e^-x=[-x²+（2-m）x+m]e^-x，
假設(shè)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，
∵e^-x＞0，
函數(shù)g（x）=-x²+（2-m）x+m開口向下，△=（2-m）²+4m=m²+4＞0，
∴g（x）恒小于零不成立，∴f′（x）＜0不恒成立，
因此假設(shè)錯誤，故f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)．
（2）∵f（x）=2，∴x²+mx=2e^x，m=

2ex

x

-x，
令h（x）=

2ex

x

-x，則h′（x）=

2ex(x-1)-x2

x2

，
∵x∈（0，2），∴h′（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，
∴m＞h（2）=e²-2，
∴f（x）=2在（0，2）內(nèi)有解，m的取值范圍是（e²-2，+∞）．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值問題，考查學(xué)生反證法的運用及等價轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．