Question

4．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的首項為2，前n項和為S_n，且數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得：a_n，S_n，可得$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}d{n}^{2}+（2-\frace4wg4mg{2}）n}{nd+2-d}$，則$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$=1，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$=1+$\frac{2}{d+2}$，$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$=$\frac{3d+6}{2d+2}$．利用數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，可得2（1+$\frac{2}{d+2}$）=1+$\frac{3d+6}{2d+2}$．解出即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∴a_n=2+（n-1）d，S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}d{n}^{2}+（2-\fracqme6cui{2}）n}{nd+2-d}$，
則$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$=1，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{2d+（2-\fracye4mi6q{2}）×2}{2d+2-d}$=$\frac{d+4}{d+2}$=1+$\frac{2}{d+2}$．
$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$=$\frac{\frac{9}{2}d+（2-\fraci4k08ky{2}）×3}{3d+2-d}$=$\frac{3d+6}{2d+2}$．
∵數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，
∴2（1+$\frac{2}{d+2}$）=1+$\frac{3d+6}{2d+2}$．
解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．