已知正四面體ABCD的棱長為a．
（1）求證：AC⊥BD
（2）求AC與BD的距離．
（3）求它的內(nèi)切球的半徑．
【答案】
分析：（1）取AC中點(diǎn)E，根據(jù)AD=DC，AB=BC，可知AC⊥DE，AC⊥BE，從而AC⊥平面BDE，故可證AC⊥BD
（2）取BD中點(diǎn)F，證明EF為AC與BD的距離，由于正四面體ABCD的棱長為a，故可求；
（3）設(shè)內(nèi)切球心為O，半徑為r，利用V
A-BCD=V
O-ABC+V
O-PAB+V
O=PBC+V
O-PAC，各底面面積相等，故可求．
解答：
解：（1）證明：取AC中點(diǎn)E
∵AD=DC，AB=BC
∴AC⊥DE，AC⊥BE
∴AC⊥平面BDE
∴AC⊥BD
（2）取BD中點(diǎn)F，則，EF⊥BD
同理可證EF⊥AC
∴EF為AC與BD的距離
∵正四面體ABCD的棱長為a
∴
∴
（3）設(shè)內(nèi)切球心為O，半徑為r
∵V
A-BCD=V
O-ABC+V
O-PAB+V
O=PBC+V
O-PAC∴
點(diǎn)評：本題以正四面體為載體，考查線線垂直，考查異面直線間的距離，考查體積公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．
已知正四面體ABCD中，M、N分別是BC和AD中點(diǎn)，則異面直線AM和CN所成的角的正切值為（ ）