Question

若不等式sin²x+2acosx≤a²+3a-2（a＜0）對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的最大值是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：化正弦為余弦，然后換元，對a分類求出a的范圍即可．

解答： 解∵不等式sin²x+2acosx≤a²+3a-2（a＜0）對一切x∈R恒成立，
∴1-cos²x+2acosx≤a²+3a-2，
∴cos²x-2acosx+a²+3a-3≥0對一切x∈R恒成立，
令cosx=t，t∈[-1，1]，
則t²-2at+a²+3a-3≥0，對一切t∈[-1，1]恒成立，
設函數(shù)f（t）=t²-2at+a²+3a-3，
則對稱軸x=a＜0，
當-1＜a＜0時，

f(1)≥0 f(-1)≥0

即

a2+a-2≥0 a2+5a-2≥0

解集為空集，
當a≤-1時，f（-1）=a²+5a-2≥0，
解得a≤

-5- 33

2

，
故a的最大值為

-5- 33

2

，
故答案為：

-5- 33

2

，

點評：本題考查了三角函數(shù)的值域，考查了利用換元法求二次函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．