Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（1）求b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由題意得方程組解出b，c的值即可；
（2）分別討論①當(dāng)a＞0時(shí)②當(dāng)a＜0時(shí)③當(dāng)a=0時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）f'（x）=x²-ax+b，
由題意，得

f(0)=1 f′(0)=0

即

c=1 b=0.

；
（2）由（1），得f'（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）
由f'（x）=0得x=0或x=a，
①當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，0）∪（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＜0；
故當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）與（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，a）∪（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0
當(dāng)x∈（a，0）時(shí)，f'（x）＜0；
故當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，a）與（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，0）
③當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)x∈R時(shí)，f'（x）=x²≥0
故當(dāng)a=0時(shí)，f（x）增區(qū)間為（-∞，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，曲線的切線問題，考查分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．