Question

設(shè)是右焦點(diǎn)為F的橢圓上三個不同的點(diǎn)，則“|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列”是“x₁+x₂=8”的（ ）
A．充要條件
B．必要不充分條件
C．充分不必要條件
D．既非充分也非必要

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)橢圓方程求得右準(zhǔn)線方程，進(jìn)而分別求得A、B、C到右準(zhǔn)線的距離進(jìn)而根據(jù)橢圓的第二定義用e和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離表示出|AF|，|BF|，|CF|，進(jìn)而可知丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數(shù)列等價于2ed₂=ed₁+ed₃，2d₂=d₁+d₃，即：x₁+x₂=8推斷出結(jié)論．
解答：解：右準(zhǔn)線為：x==
設(shè)A、B、C到右準(zhǔn)線的距離為d₁、d₂、d₃
d₁=-x₁，d₂=，d₃=-x₂
由橢圓的第二定義（點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線距離的e倍，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線）
丨AF丨=ed₁、丨BF丨=ed₂、丨CF丨=ed₃
丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數(shù)列等價于2ed₂=ed₁+ed₃，2d₂=d₁+d₃，即：x₁+x₂=8
∴“丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數(shù)列”是“X1+X2=8的充要條件．
點(diǎn)評：這道題目綜合考查了解析幾何中橢圓的性質(zhì)（人教版選修2-1第三章）與簡易邏輯中的命題的基本關(guān)系（人教版選修2-1第一章），可以認(rèn)為這是一道以簡易邏輯為背景的解析幾何題目．