【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中點.
(Ⅰ)求證:DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣E的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:∵側面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,
∴PA⊥AB,PA⊥AD⊥AD⊥AB,
以點A為坐標原點,建立如圖所示的坐標系,設PA=AB=BC=2AD=2,則P(0,0,2),D(1,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),E(1,1,1),
=(0,1,1), =(0,2,﹣2), =(2,2,﹣2),
=0, =0,
∴DE⊥PB,DE⊥PC,
∵PB∩PC=P,
∴DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知平面PAD的一個法向量 =(0,2,0).
設平面PCD的一個法向量為 =(x,y,z),則
=(1,0,﹣2), =(2,2,﹣2),
,
∴取 =(2,﹣1,1),
∴cos< , >= =﹣

【解析】(Ⅰ)以點A為坐標原點,建立坐標系,證明 =0, =0,即可證明DE⊥平面PBC;(Ⅱ)求出平面PAD的一個法向量、平面PCD的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角A﹣PD﹣E的余弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想.

練習冊系列答案
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(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的值

(2)在選取的樣本中,從成績是80分以上(含80分)的同學中隨機抽取3名參加志愿者活動,所抽取的3名同學中至少有一名成績在[90,100]內的概率。.

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【題目】某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究,他們分別記錄了日至日的每天晝夜溫差與實驗室每天每顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:

日期

溫差

發(fā)芽數(shù)(顆)

該農科所確定的研究方案是:先從這組數(shù)據(jù)中選取組,用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.

(1)求選取的組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率;

(2)若選取的是日與日的數(shù)據(jù),請根據(jù)日至日的數(shù)據(jù)求出關于的線性回歸方程

(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過顆.則認為得到的線性回歸方程是可靠的.試問(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎?

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

,.

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【題目】某儀器經過檢驗合格才能出廠,初檢合格率為:若初檢不合格,則需要進行調試,經調試后再次對其進行檢驗;若仍不合格,作為廢品處理,再檢合格率為.每臺儀器各項費用如表:

項目

生產成本

檢驗費/次

調試費

出廠價

金額(元)

1000

100

200

3000

(Ⅰ)求每臺儀器能出廠的概率;

(Ⅱ)求生產一臺儀器所獲得的利潤為1600元的概率(注:利潤出廠價生產成本檢驗費調試費);

(Ⅲ)假設每臺儀器是否合格相互獨立,記為生產兩臺儀器所獲得的利潤,求的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】(本小題滿分12分) 某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng)),系統(tǒng)在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為。

(Ⅰ)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求的值;

(Ⅱ)設系統(tǒng)在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量,求的概率分布列及數(shù)學期望。

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(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求產值小于500萬元的城市個數(shù);

(2)在上述抽取的40個城市中任取2個,設為產值不超過500萬元的城市個數(shù),求的分布列及期望和方差.

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贊成自助游

不贊成自助游

合計

男性

女性

合計

1若在這人中,按性別分層抽取一個容量為的樣本,女性應抽人,請將上面的列聯(lián)表補充完整,并據(jù)此資料能否在犯錯誤的概率不超過前提下,認為贊成自助游是與性別有關系?

2若以抽取樣本的頻率為概率,從旅游節(jié)大量游客中隨機抽取人贈送精美紀念品,記這人中贊成自助游人數(shù)為,的分布列和數(shù)學期望.

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