Question

7．設函數(shù)f（x）=x²-x+t，t≥0，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若對任意的正實數(shù)x，恒有g（x）≤x^2α成立，求實數(shù)α的取值范圍；
（Ⅱ）對于確定的t，是否存在直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切？若存在，討論直線l的條數(shù)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得lnx-x^2α≤0恒成立，討論當α≤0時，h（x）=lnx-x^2α遞增，無最大值；當α＞0時，求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極大值，也為最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范圍；
（2）分別設出切點，再根導數(shù)的幾何意義求出切線方程，構造方程組，消元，再構造函數(shù)F（x）=lnx+$\frac{（1+x）^{2}}{4{x}^{2}}$-（t+1），利用導數(shù)求出函數(shù)F（x）的最小值，再分類討論，得到方程組的解得個數(shù)，繼而得到切線的條數(shù)．

解答 解：（1）對任意的正實數(shù)x，恒有g（x）≤x^2α成立，
即為lnx-x^2α≤0恒成立，
當α≤0時，h（x）=lnx-x^2α遞增，無最大值；
當α＞0時，h′（x）=$\frac{1}{x}$-2α•x^2α-1，
當x＞$（\frac{1}{2α}）^{\frac{1}{2α}}$時，h′（x）＜0，h（x）遞減；
當0＜x＜$（\frac{1}{2α}）^{\frac{1}{2α}}$時，h′（x）＞0，h（x）遞增．
即有x=$（\frac{1}{2α}）^{\frac{1}{2α}}$時，h（x）取得最大值，且為$\frac{1}{2α}$ln$\frac{1}{2α}$-$\frac{1}{2α}$，
由$\frac{1}{2α}$ln$\frac{1}{2α}$-$\frac{1}{2α}$≤0，可得α≥$\frac{1}{2e}$，
綜上可得，實數(shù)α的取值范圍是[$\frac{1}{2e}$，+∞）；
（2）記直線l分別切f（x），g（x）的圖象于點（x₁，x₁²-x₁+t），（x₂，lnx₂），
由f′（x）=2x-1，得l的方程為y-（x₁²-x₁+t）=（2x₁-1）（x-x₁），即y=（2x₁-1）x-x₁²+t．
由g′（x）=$\frac{1}{x}$，得l的方程為y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂），即y=$\frac{1}{{x}_{2}}$•x+lnx₂-1．
所以$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}-1=\frac{1}{{x}_{2}}}\\{t-{{x}_{1}}^{2}=ln{x}_{2}-1}\end{array}\right.$（*）                  
消去x₁得lnx₂+$\frac{（1+{x}_{2}）^{2}}{4{{x}_{2}}^{2}}$-（t+1）=0   （**）．     
令F（x）=lnx+$\frac{（1+x）^{2}}{4{x}^{2}}$-（t+1），
則F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1+x}{2{x}^{3}}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{2{x}^{3}}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{2{x}^{3}}$，x＞0．
由F'（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，F'（x）＜0，當x＞1時，F'（x）＞0，
所以F（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
從而F（x）_min=F（1）=-t．                        
當t=0時，方程（**）只有唯一正數(shù)解，從而方程組（*）有唯一一組解，
即存在唯一一條滿足題意的直線；               
當t＞0時，F（1）＜0，由于F（e^t+1）＞ln（e^t+1）-（t+1）=0，
故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解；           
令k（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1（x≤1），由于k' （x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$≤0，
故k （x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
故當0＜x＜1時，k （x）＞k （1）=0，即lnx＞1-$\frac{1}{x}$，
從而lnx+$\frac{（1+x）^{2}}{4{x}^{2}}$-（t+1）＞（$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$）²-t．
所以F（$\frac{1}{2（\sqrt{t}+1）}$）＞（$\sqrt{t}$+$\frac{1}{2}$）²-t=$\sqrt{t}$+$\frac{1}{4}$＞0，
又0＜$\frac{1}{2（\sqrt{t}+1）}$＜1，
故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．
所以當t＞0時，方程（**）有兩個不同的正數(shù)解，方程組（*）有兩組解．即存在兩條滿足題意的直線．
綜上，當t=0時，與兩個函數(shù)圖象同時相切的直線的條數(shù)為1；
當t＞0時，與兩個函數(shù)圖象同時相切的直線的條數(shù)為2．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)以及最值的關系，以及導數(shù)的幾何意義方程組的解的個數(shù)問題，考查了學生得轉化能力，運算能力，屬于難題．