Question

13．PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD為定長(zhǎng)，當(dāng)AB的長(zhǎng)度變化時(shí)，異面直線PC與AD所成角的取值范圍是（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PC與AD所成角的取值范圍．

解答 解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AD，AB=x，
則P（0，0，a），C（x，a，0），D（0，a，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AD}$=（0，a，0），$\overrightarrow{PC}$=（x，a，-a），
設(shè)異面直線PC與AD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{{a}^{2}}{a\sqrt{2{a}^{2}+x}}$，
∵x＞0，∴當(dāng)x→0時(shí)，cosθ→$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ→$\frac{π}{4}$；
當(dāng)x→+∞時(shí)，cosθ→0，θ→$\frac{π}{2}$．
∴異面直線PC與AD所成角的取值范圍是（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）．
故答案為：$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．