已知點(diǎn)F是雙曲線x2-
y2
2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l交雙曲線于兩點(diǎn)P、Q，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有（　　）
分析：當(dāng)直線l與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|最小為實(shí)軸長(zhǎng)2a=2，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有兩條，當(dāng)直線l與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|最小為通徑長(zhǎng)
2b2
a
=4，若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有1條，數(shù)形結(jié)合即可
解答：解：如圖：當(dāng)直線l與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|最小為實(shí)軸長(zhǎng)2a=2，
當(dāng)直線l與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|PQ|最小為通徑長(zhǎng)
2b2
a
=4
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，若|PQ|=4，則當(dāng)直線l與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這樣的直線l可有兩條，當(dāng)直線l與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這樣的直線l只有1條，所以若|PQ|=4，則這樣的直線l有且僅有3條
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，特別是直線與雙曲線相交時(shí)弦長(zhǎng)的幾何性質(zhì)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注意積累一些結(jié)論，對(duì)解決此類(lèi)選擇題很有好處
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（4，6），點(diǎn)P是雙曲線C：x2-
y215
=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是雙曲線C的右焦點(diǎn)，則PA+PF的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)F是雙曲線C：x2-y2=2的左焦點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且
OA
+
OB
=2
OP
，求直線l的方程．
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)
FB
=λ
FA
，當(dāng)λ∈[6，+∞）時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

（A題）已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，直線l是圓在P點(diǎn)處的切線，動(dòng)拋物線以直線l為準(zhǔn)線且恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0），則拋物線焦點(diǎn)F的軌跡為


  1. A.
    圓
  2. B.
    橢圓
  3. C.
    雙曲線
  4. D.
    拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008-2009學(xué)年重慶一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)F是雙曲線C：x2-y2=2的左焦點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且，求直線l的方程．
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)λ∈[6，+∞）時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍．

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