Question

在三角形△ABC中，．
（Ⅰ）求sinA的值；　
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，
即（sinA-cosA）=，
∴，
∴，
∴，且角A為銳角，
又，
，sinA+cosA=（舍去），
聯(lián)立得：，
解得：；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的角A，B，C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，
∵sinA=，cosA=，
∴，
由余弦定理有，
∴，即，
∴，
則△ABC面積的最大值為．
分析：（Ⅰ）把已知的第二個(gè)等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，得到sinA-cosA=①，然后左右兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出sin2A的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)（sinA+cosA）²，將sin2A的值代入，開方求出sinA+cosA=②，聯(lián)立①②即可求出sinA的值；
（Ⅱ）由sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積S，再利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將a，cosA的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可得出三角形面積的最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的面積公式，余弦定理，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．