Question

9．試探究：是否存在實(shí)數(shù)m，使得橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分，從而可得直線AB的斜率k=-$\frac{1}{4}$，直線AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M在直線y=4x+m，可設(shè)直線AB的方程為y=-$\frac{x}{4}$+t，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{x}{4}+t}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，可得13x²-8tx+16（t²-3）=0可求中點(diǎn)M，由△=64t²-4×13×16（t²-3）＞0可求b的范圍，由中點(diǎn)M在直線y=4x+m可得m，t的關(guān)系，從而可求m的范圍．

解答 解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱．
設(shè)橢圓上關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱的點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則根據(jù)對(duì)稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分．
可得直線AB的斜率k=-$\frac{1}{4}$，直線AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
且AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線y=4x+m，
可設(shè)直線AB的方程為y=-$\frac{x}{4}$+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{x}{4}+t}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y，整理可得13x²-8tx+16（t²-3）=0，
即有x₁+x₂=$\frac{8t}{13}$，y₁+y₂=-$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）+2t=-$\frac{2t}{13}$+2t=$\frac{24t}{13}$，
由△=64t²-4×13×16（t²-3）＞0可得，-$\frac{\sqrt{13}}{2}$＜t＜$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
所以x₀=$\frac{4t}{13}$，y₀=$\frac{12t}{13}$，代入直線y=4x+m可得m=-$\frac{4t}{13}$．
則存在這樣的m，且m∈（-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，$\frac{2\sqrt{13}}{13}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用已知中的對(duì)稱性設(shè)出直線方程，且由中點(diǎn)在y=4x+m上建立m，t之間的關(guān)系，還要注意方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．