Question

一動(dòng)圓恒過(guò)點(diǎn)A（-

2

，0）且恒與定圓B：（x-

2

）²+y²=12相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C（2）的軌跡M（3）的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)p（0，2）的直線l與軌跡M交于不同的兩點(diǎn)E、F，求

PE

•

PF

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：

分析：（1）依題意動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，可得|MA?|+|MA|=2

3

＞2

2

，利用橢圓定義，即可求出動(dòng)圓圓心M的軌跡的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理即向量數(shù)量積公式，即可求

PE

•

PF

的取值范圍．

解答： 解：（1）定圓B：（x-

2

）²+y²=12的圓心為B（

2

，0），
依題意動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，
∴|MB|+|MA|=2

3

＞2

2

，…（3分）
∴點(diǎn)M的軌跡是以AB、A為焦點(diǎn)，2

3

為長(zhǎng)軸上的橢圓，
∵a=

3

，c=

2

，
∴b²=1．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

3

+y2=1． …（5分）
（2）解：設(shè)l的方程為x=k（y-2）代入

x2

3

+y2=1，消去x得：（k²+3）y²-4k²y+4k²-3=0，
由△＞0得16k⁴-（4k²-3）（k²+3）＞0，∴0≤k²＜1，…（7分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

4k2

k2+3

，y₁y₂=

4k2-3

k2+3

，
又

PE

=（x₁，y₁-2），

PF

=（x₂，y₂-2），
∴

PE

•

PF

=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=k（y₁-2）•k （y₂-2）+（y₁-2）（y₂-2），
=（1+k²）（

4k2-3

k2+3

-2×

4k2

k2+3

+4）=9（1-

2

k2+3

），…（10分）
∵0≤k²＜1，∴3≤k²+3＜4，
∴

PE

•

PF

∈[3，

9

2

）． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．