(本小題13分) 如圖所示, PQ為平面的交線, 已知二面角為直二面角, , ∠BAP=45°.
(1)證明: BC⊥PQ;
(2)設(shè)點C在平面內(nèi)的射影為點O, 當(dāng)k取何值時, O在平面ABC內(nèi)的射影G恰好為△ABC的重心?
(3)當(dāng)時, 求二面角B-AC-P的大小.
(1)證明見解析
(2)k=1
(3)
【解析】(1)在平面內(nèi)過點C作CE⊥PQ于點E, 由題知點E與點A不重合, 連接EB.
, 即點C在平面內(nèi)的射影為點E,
所以.
又.
, 故 BE⊥PQ, 又
, ,
平面EBC, 故BC⊥PQ.
(2)由(1)知, O點即為E點, 設(shè)點F是O在平面ABC內(nèi)的射影, 連 接BF并延長交AC于點D, 由題意可知, 若F是△ABC的重心, 則點D為AC的中點.
, 平面角為直二面角, , 由三垂線定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k=1;反之, 當(dāng)k=1時, 三棱錐O—ABC為正三棱錐, 此時, 點O在平面ABC內(nèi)的射影恰好為△ABC的重心.
(3)由(2)知, 可以O為原點, 以OB、OA、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz(如圖所示)
不妨設(shè), 在Rt△OAB中, ∠ABO=∠BAO=45°, 所以BO=AO=, 由CA=CB=kAB且得, AC=2, , 則.
所以
設(shè)是平面ABC的一個法向量, 由得
取x=1, 得
易知是平面的一個法向量,
設(shè)二面角B-AC-P的平面角為, 所以, 由圖可知,
二面角B-AC-P的大小為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆湖北武漢部分重點中學(xué)高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
(本小題13分)如圖1,在三棱錐P—ABC中,平面ABC,,D為側(cè)棱PC上一點,它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示。
(1)證明:平面PBC;
(2)求三棱錐D—ABC的體積;
(3)在的平分線上確定一點Q,使得平面ABD,并求此時PQ的長。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆福建省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題13分)如圖,棱錐的底面是矩形,⊥平面,,
(1)求證:⊥平面;
(2)求二面角的大。
(3)求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆安徽宿松縣復(fù)興中學(xué)高一第二學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題13分)
如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于處時,乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時,乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,問乙船每小時航行多少海里?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京市東城區(qū)示范校高三第二學(xué)期綜合練習(xí)數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題13分)如圖,在四棱錐中,
底面是矩形,側(cè)棱PD⊥底面,
,是的中點,作⊥交于點.
(1)證明:∥平面;
(2)證明:⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題13分)如圖是一塊邊長為100米的正方形地皮,其中是一半徑為90米的扇形小山,是弧上一點,其余都是平地,現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在與上的長方形停車場,求長方形停車場的最大面積和最小面積。(請將結(jié)果精確到個位)【提示:】
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