【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證： Tn＜1．

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式得到an=2an﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差數(shù)列求出數(shù)列首項(xiàng)，可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則其通項(xiàng)公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得T，再利用單調(diào)性求出T的范圍.

(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.

又因?yàn)?/span>a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．

故an＝2n.

(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.

由1－.在自然數(shù)集上遞增，可得n=1時(shí)取得最小值，

且1－＜1，

則≤Tn＜1．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)， 邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在直線上．

（Ⅰ）求邊所在直線的方程；

（Ⅱ）求矩形外接圓的方程；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義為n個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若4<對(duì)一切恒成立試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

(3)令，問：是否存在正整數(shù)k使得對(duì)一切恒成立，如存在求出k值，否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀下面材料，完成數(shù)學(xué)問題．

我校高二文科班的同學(xué)到武昌農(nóng)民運(yùn)動(dòng)講習(xí)所研學(xué)的途中路過武漢長(zhǎng)江大橋邊的武昌長(zhǎng)江大堤，同學(xué)們?cè)诖蟮躺峡吹脚c武昌隔江相對(duì)的漢陽龜山上的電視塔和漢陽江邊的晴川飯店在朝陽的映照下顯得非常美麗，紛紛拿出手機(jī)拍照。這時(shí)帶隊(duì)的老師問大家，我要站在武昌大堤的哪一點(diǎn)才能夠同時(shí)拍下電視塔和晴川飯店最清晰的圖像？聽到這個(gè)問題后，同學(xué)們議論紛紛。討論一會(huì)后，一個(gè)同學(xué)對(duì)大家說：“把電視塔看成點(diǎn)A，飯店看成點(diǎn)B，武昌大堤看成直線l，C是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，拍照最佳點(diǎn)就是直線上使∠ACB最大的點(diǎn)．使∠ACB最大的點(diǎn)的求法用初中數(shù)學(xué)的一個(gè)定理：過點(diǎn)A，B作與直線l相切的圓，半徑較小的圓和直線l的切點(diǎn)就是直線l上使∠ACB最大的點(diǎn)。”老師和同學(xué)們聽了拍手稱對(duì)。回到學(xué)校后，一位同學(xué)利用百度地圖測(cè)距功能測(cè)得點(diǎn)A到直線l距離是2km，點(diǎn)B到直線l距離是1.5km，A，B兩點(diǎn)間的距離是1km．該同學(xué)以直線l為x軸，過A點(diǎn)和直線l垂直的直線為y軸建立了如圖所示的坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, 2)，點(diǎn)B在第一象限．根據(jù)以上材料，請(qǐng)?jiān)谒o的坐標(biāo)系中，在x軸上求使∠ACB最大的點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓E： （a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)F1、F2 ， 其離心率e= ，且點(diǎn)F2到直線 =1的距離為 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x0 ， y0）是橢圓E上的一點(diǎn)（x0≥1），過點(diǎn)P作圓（x+1）2+y2=1的兩條切線，切線與y軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有下列四個(gè)命題：
①垂直于同一條直線的兩條直線平行；
②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；
③垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行；
④垂直于同一平面的兩條直線平行．
其中正確的命題有（填寫所有正確命題的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)f（x）=sin2x+ cos2x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象上所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g （x）的圖象，則g（x）圖象的一條對(duì)稱軸方程是（ ）
A.x=一
B.x=
C.x=
D.x=

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過點(diǎn)A（0，4），且斜率為的直線與圓C：，相交于不同兩點(diǎn)M、N.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：為定值；

（3）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問是否存在以MN為直徑的圓恰過點(diǎn)O，若存在則求的值，若不存在，說明理由。

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