【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(Ⅰ)EF∥平面ABC;
(Ⅱ)AD⊥AC.
【答案】證明:(Ⅰ)因為AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四點共面, 所以AB∥EF,
又因為EF平面ABC,AB平面ABC,
所以由線面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;
(Ⅱ)在線段CD上取點G,連結(jié)FG、EG使得FG∥BC,則EG∥AC,
因為BC⊥BD,所以FG⊥BC,
又因為平面ABD⊥平面BCD,
所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,
又因為AD⊥EF,且EF∩FG=F,
所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,
故AD⊥AC.
【解析】(Ⅰ)利用AB∥EF及線面平行判定定理可得結(jié)論; (Ⅱ)通過取線段CD上點G,連結(jié)FG、EG使得FG∥BC,則EG∥AC,利用線面垂直的性質(zhì)定理可知FG⊥AD,結(jié)合線面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,從而可得結(jié)論.
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點;平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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【題目】設(shè) , 為非零向量,則“存在負數(shù)λ,使得 =λ ”是 <0”的( 。
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
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【題目】如圖,在正三棱柱中,AB=2,由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點C1的最短路線與棱的交點記為M,求:
(Ⅰ)三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長.
(Ⅱ)該最短路線的長及的值.
(Ⅲ)平面與平面ABC所成二面角(銳二面角)
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【題目】如下圖所示,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)設(shè)點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,異面直線A1B與B1C1所成的角為60°.
(1)求該三棱柱的體積;
(2)設(shè)D是BB1的中點,求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1 , 過點F2作直線PF2的垂線l2 .
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l1 , l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標(biāo).
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【題目】在直角梯形PBCD中, ,A為PD的中點,如下左圖。將沿AB折到的位置,使,點E在SD上,且,如下圖。
(1)求證: 平面ABCD;
(2)求二面角E—AC—D的正切值.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(12分)
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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