Question

給定雙曲線．
（1）過點(diǎn)A（2，1）的直線L與所給的雙曲線交于兩點(diǎn)P₁及P₂，求線段P₁P₂的中點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）過點(diǎn)B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q₁及Q₂，且點(diǎn)B是線段Q₁Q₂的中點(diǎn)？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線L的方程代入雙曲線方程，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的表達(dá)式，表示出x，把x代入直線方程求得y的表達(dá)式，再由的表達(dá)式相除后消去k而得所求軌跡的普通方程即是所求的軌跡方程．
（2）設(shè)所求直線方程為y=k（x-1）+1，代入雙曲線方程，設(shè)Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂求得k，代入判別式結(jié)果小于0，進(jìn)而斷定滿足題設(shè)中條件的直線不存在．
解答：解：設(shè)直線L的方程為y=k（x-2）+1，（1）
將（1）式代入雙曲線方程，得：（2-k²）x²+（4k²-2k）x-4k²+4k-3=0，（2）
又設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），，
則x₁，x₂必須是（2）的兩個(gè)實(shí)根，所以有．
按題意，，∴．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212342102232836/SYS201310232123421022328008_DA/6.png">在直線（1）上，所以．
再由的表達(dá)式相除后消去k而得所求軌跡的普通方程為，這就是所求的軌跡方程．

（2）設(shè)所求直線方程為y=k（x-1）+1，代入雙曲線方程，整理得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，（3）
設(shè)必須是（3）的兩個(gè)實(shí)根，
即如果B是Q₁Q₂的中點(diǎn)，
就有（x₁+x₂）=1，，所以有．
綜合起來，k應(yīng)滿足．
由第二式解出k=2，但k=2不滿足第一式，所以（I）無解．
故滿足題設(shè)中條件的直線不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．解題的結(jié)果一定注意放到判別式中進(jìn)行驗(yàn)證．