Question

已知函數(shù)f(x)=|x+

1

x

|
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求證：函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調減函數(shù)，在[1，+∞）上是單調增函數(shù)；
（3）用描點法畫出函數(shù)f（x）的圖象；根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間及值域．

Answer 1

分析：（1）分析函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，及f（-x）與f（x）的關系，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得到答案．
（2）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，我們可以求出x∈（0，+∞）時，函數(shù)的解析式及導函數(shù)的解析式，然后根據(jù)x∈（0，1）時與x∈（1，+∞）時，f′（x）的符號，即可得到結論；
（3）由（1）（2）的結論，結合描點法，我們易得到函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象易求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間及值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱；（2分）
又∵f(-x)=|-x+

1

-x

|=|x+

1

x

|=f(x)，∴f（x）是偶函數(shù)．（4分）
（2）證明：當x∈（0，+∞）時，f(x)=x+

1

x

，
則f′(x)=1-

1

x2

易得當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
故函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調減函數(shù)，在[1，+∞）上是單調增函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）圖象如圖所示（14分）

函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是[-1，0），[1，+∞），
單調減區(qū)間是（-∞，-1]，（0，1]，值域是[2，+∞）（16分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)單調性的判斷與證明，函數(shù)圖象的畫法及應用，屬于函數(shù)的綜合性應用問題，考查了函數(shù)除了周期性以外的所有重要知識點，是一道不可多得的好題．