【題目】已知是橢圓上一點,以點及橢圓的左、右焦點,為頂點的三角形面積為

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)過作斜率存在且互相垂直的直線,,兩交點的中點,兩交點的中點,求△面積的最大值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)通過已知建立方程組,解方程組即得橢圓的標準方程;

(Ⅱ)設直線,聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達定理,求出,,,則再利用導數(shù)求函數(shù)的最大值得解.

解:(Ⅰ)由點在橢圓上可得

整理得①.

,解得,

所以,代入①式整理得

解得,

所以橢圓的標準方程為

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,所以設直線

聯(lián)立直線與橢圓的方程,整理得

所以直線與橢圓兩交點的中點的縱坐標

同理直線與橢圓兩交點的中點的縱坐標,

所以

將上式分子分母同除可得,

不妨設,令,,則,

,,因為,所以,

所以單調遞增,

所以當時,三角形△面積取得最大值

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓的離心率為,且橢圓的右頂點到直線的距離為3.

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A.相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為一尺

B.春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同

C.立冬的晷長為一丈五寸

D.立春的晷長比立秋的晷長短

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2)求證:平面;

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【題目】{an}是各項都為整數(shù)的等差數(shù)列,其前n項和為,是等比數(shù)列,且,,.

1)求數(shù)列的通項公式;

2)設cnlog2b1+log2b2+log2b3++log2bn .

i)求Tn;

ii)求證:2.

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【題目】已知函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù),

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1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;

2)求圓上的點到直線的距離的最小值.

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