Question

9、設(shè){a_n}是等差數(shù)列，從{a₁，a₂，…，a₂₀}中任取3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)仍成等差數(shù)列，則這樣不同的等差數(shù)列的個數(shù)最多有（　�。�

A、90

B、120

C、180

D、200

Answer 1

分析：先根據(jù)等差中項確定數(shù)列一定是同奇同偶，然后將20個數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論．

解答：解：選出的數(shù)列中 首相+末相=2×中間相
所以 首相+末相 定是偶數(shù)
因為a_n為等差，所以可以表示成a_n=d×n+c（關(guān)于n的一次函數(shù)）
首相+末相=d×（首相項數(shù)+末相項數(shù)）+2×c
所以（首相項數(shù)+末相項數(shù)）為偶數(shù)
也就是說首相項數(shù)與末相項數(shù)同奇同偶
于是20個數(shù)中10個為奇數(shù)，10個位偶數(shù)
先任意從10個奇數(shù)中取出2個排列，作為首末兩項
這樣可以選出 10×9 個數(shù)列
同理任意從10個偶數(shù)中取出2個排列，作為首末兩項
這樣也可以選出 10×9 個數(shù)列
所以總共可以有 10×9×2=180
故選C．

點評：本題主要考查等差中項的性質(zhì)．等差數(shù)列在數(shù)列中占很大的地位，對分析問題和解決問題都很重要．