已知向量
a
=(sinx，-1)，
b
=(cosx，
3
2
)．
（1）當(dāng)
a
∥
b
時，求cos2x-3sin2x的值．
（2）求f(x)=(
a
+
b
)•
b
的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
分析：（1）利用向量共線的條件，可得tanx=-
2
3
，再將所求式化為tanx的函數(shù)，即可求得結(jié)論；
（2）求出
a
+
b
=(sinx+cosx，
1
2
)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，并化簡函數(shù)，即可求得函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間．
解答：解：（1）∵
a
∥
b
，
a
=(sinx，-1)，
b
=(cosx，
3
2
)
∴
3
2
sinx+cosx=0…（2分）
∴tanx=-
2
3
…（3分）
∴cos2x-3sin2x=
cos2x-6sinxcosx
sin2x+cos2x
=
1-6tanx
1+tan2x

=
1-6×(-
2
3
)
1+(-
2
3
)2
=
1+4
1+
4
9
=
5
13
9
=
45
13
（5分）
（2）∵
a
=(sinx，-1)，
b
=(cosx，
3
2
)
∴
a
+
b
=(sinx+cosx，
1
2
)…（6分）
∴f(x)=(
a
+
b
)•
b
=(sinx+cosx)cosx+
3
4
=
1
2
(sin2x+cos2x)+
5
4
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
5
4
…（8分）
∴最小正周期為π…（9分）
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
2
≤2kπ+
π
2
，得kπ-
3
8
π≤x≤kπ+
π
8

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
3
8
π，kπ+
π
8
]k∈Z…（10分）
點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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