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19.下列五種說法:
①函數(shù)y=x2x+4x1(x>1)的最小值為5;
②y=tan(2x+\frac{π}{3})周期為π.
③已知△ABC中,∠B=\frac{π}{4},a=4\sqrt{3},b=4\sqrt{2},則∠A=\frac{π}{3}
④若cos2α=0,則cosα=sinα.
⑤y=\frac{{{{(sinx)}^2}+2}}{sinx},x∈(0,π),則y的最小值為2\sqrt{2}
其中正確的命題是①.

分析 ①利用基本不等式進行求解判斷,
②根據(jù)正切函數(shù)的周期公式進行判斷,
③根據(jù)正弦定理進行求解判斷,
④根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)進行求解,
⑤利用基本不等式成立的條件進行判斷.

解答 解:①函數(shù)y=\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}+(x-1)+4}{x-1}=(x-1)+\frac{4}{x-1}+1,
∵x>1,∴x-1>0,
則(x-1)+\frac{4}{x-1}+1≥1+2\sqrt{(x-1)•\frac{4}{x-1}}=1+4=5當(dāng)且僅當(dāng)x-1=\frac{4}{x-1},即x-1=2,x=3時取等號,故函數(shù)的最小值為5正確,故①正確;
②y=tan(2x+\frac{π}{3})周期為T=\frac{π}{2},故②錯誤,
③已知△ABC中,∠B=\frac{π}{4},a=4\sqrt{3},b=4\sqrt{2},則\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}得sinA=\frac{asinB}=\frac{4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2},則∠A=\frac{π}{3}\frac{2π}{3},故③錯誤.
④若cos2α=0,則2α=2kπ±\frac{π}{2},即a=kπ±\frac{π}{4},則tanα=±1,即cosα=±sinα,故④錯誤,
⑤y=\frac{{{{(sinx)}^2}+2}}{sinx}=sinx+\frac{2}{sinx}≥2\sqrt{sinx•\frac{2}{sinx}}=2\sqrt{2},當(dāng)且僅當(dāng)sinx=\frac{2}{sinx},即sinx=\sqrt{2},此時sinx=\sqrt{2}不成立,則y的最小值為2\sqrt{2}錯誤,故⑤錯誤,
故答案為:①.

點評 本題主要考查命題的真假判斷,涉及基本不等式的應(yīng)用,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),正弦定理的應(yīng)用,涉及的知識點較多,綜合性較強,但難度不大.

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