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19.下列五種說法:
①函數(shù)y=x2x+4x1(x>1)的最小值為5;
②y=tan(2x+π3)周期為π.
③已知△ABC中,∠B=π4,a=43,b=42,則∠A=π3
④若cos2α=0,則cosα=sinα.
⑤y=sinx2+2sinx,x∈(0,π),則y的最小值為22
其中正確的命題是①.

分析 ①利用基本不等式進行求解判斷,
②根據(jù)正切函數(shù)的周期公式進行判斷,
③根據(jù)正弦定理進行求解判斷,
④根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)進行求解,
⑤利用基本不等式成立的條件進行判斷.

解答 解:①函數(shù)y=x2x+4x1=x12+x1+4x1=(x-1)+4x1+1,
∵x>1,∴x-1>0,
則(x-1)+4x1+1≥1+2x14x1=1+4=5當(dāng)且僅當(dāng)x-1=4x1,即x-1=2,x=3時取等號,故函數(shù)的最小值為5正確,故①正確;
②y=tan(2x+π3)周期為T=π2,故②錯誤,
③已知△ABC中,∠B=π4,a=43,b=42,則asinA=sinB得sinA=asinB=43×2242=32,則∠A=π32π3,故③錯誤.
④若cos2α=0,則2α=2kπ±π2,即a=kπ±π4,則tanα=±1,即cosα=±sinα,故④錯誤,
⑤y=sinx2+2sinx=sinx+2sinx≥2sinx2sinx=22,當(dāng)且僅當(dāng)sinx=2sinx,即sinx=2,此時sinx=2不成立,則y的最小值為22錯誤,故⑤錯誤,
故答案為:①.

點評 本題主要考查命題的真假判斷,涉及基本不等式的應(yīng)用,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),正弦定理的應(yīng)用,涉及的知識點較多,綜合性較強,但難度不大.

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