橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),A1、A2、B1、B2分別為橢圓C的長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)M(x0,0),若當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A1、A2處時(shí),|PM|取得最大值與最小值,求x0的取值范圍;
(2)若橢圓C上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為l,且與直線l:y=kx+m相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓的左右頂點(diǎn)),并滿足AA2⊥BA2.試研究:直線l是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不過定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),用P,M點(diǎn)坐標(biāo)表示|PM|的平方,得到PM|的平方可看成是關(guān)于x的二次函數(shù),再根據(jù)x的取值范圍,求出PM|的平方的范圍,進(jìn)而得到x0的取值范圍.
(2)先根據(jù)橢圓C上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為l求出橢圓方程,再與直線l:y=kx+m聯(lián)立,得到x1x2,x1+x2,再根據(jù)AA2⊥BA2,AA2與BA2斜率之積為-1,,求m的值,若能求出,則直線l過定點(diǎn),若不能求出,則直線l不過定點(diǎn).
解答:解:(1)設(shè)P(x,y)且
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
f(x)=|PM|2=(x-x0)2+y2=
c2
a2
x2-2x0x+x02+b2
,則對(duì)稱軸方程為x=
a2
c2
x0
,
由題意只有當(dāng)
a2x0
c2
≥a
a2x0
c2
≤-a
時(shí)滿足題意,所以x0
c2
a
x0≤-
c2
a

故x0的取值范圍是(-∞,-
c2
a
]∪[
c2
a
,+∞)
.                                    
(2)因?yàn)?span id="ksyomco" class="MathJye">|c|>
c2
a
所以由(1)得:a+c=3,a-c=1,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.                                        
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1

得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0
x1+x2=
8mk
3+4k2
x1x2
4(m2-3)
3+4k2

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
3(m2-4k2)
3+4k2
,
因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0),∴kAA2kBA2=-1,即
y1
x1-2
y21
x2-2
=-1,
y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
3(m2-4k2)
3+4k2
+
4(m2-3)
3+4k2
+
16mk
3+4k2
+4=0,∴7m2+16mk+4k2=0.
解得:m1=-2k,m2=-
2k
7
,且均滿足3+4k2-m2>0,
當(dāng)m1=-2k時(shí),l的方程為y=k(x-2),直線過定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;
當(dāng)m2=-
2k
7
時(shí),l的方程為y=k(x-
2
7
),直線過定點(diǎn)(
2
7
,0).
所以,直線l過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為(
2
7
,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與橢圓位置關(guān)系,計(jì)算量較大,做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真,避免出錯(cuò).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)交于P、Q兩點(diǎn),直線l與y軸交于點(diǎn)R,且
.
OP
.
OQ
=-3,
.
PR
=3
.
RQ
,求直線l和橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,上、下頂點(diǎn)為B2,B1,點(diǎn)P(
3
5
a
,m)(m>0)是橢圓C上一點(diǎn),PO⊥A2B2,直線PO分別交A1B1、A2B2于點(diǎn)M、N.
(1)求橢圓離心率;
(2)若MN=
4
21
7
,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)R點(diǎn)是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn),RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過橢圓C上一點(diǎn)P(2,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓交于點(diǎn)A、B,直線AB與x軸交于點(diǎn)M,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左焦點(diǎn)為F1(-1,0),右焦點(diǎn)為F2(1,0),短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B.與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1k2=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)求證直線l與y軸相交于定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
(3)當(dāng)弦MN的中點(diǎn)P落在△MF1F2內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線l的斜率的取值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(2,0),離心率e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點(diǎn),證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上.

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同步練習(xí)冊(cè)答案