Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，設(shè)該橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F（-c，0）的最大距離為d₁，到右頂點(diǎn)A（a，0）的最大距離為d₂．
（Ⅰ） 若d₁=3，d₂=4，求橢圓E的方程；
（Ⅱ） 設(shè)該橢圓上的點(diǎn)到上頂點(diǎn)B（0，b）的最大距離為d₃，求證：d3≤

a2

c

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)，知

a+c=3 2a=4

⇒

a=2 c=1

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）橢圓上任意一點(diǎn)P（acosθ，bsinθ），則點(diǎn)P到上頂點(diǎn)B（0，b）的距離為|PB|，|PB|=

(acosθ)2+(bsinθ-b)2

=

(b2-a2)sin2θ-2b2sinθ+a2+b2

，先構(gòu)造二次函數(shù)f（t）=-c²t²-2b²t+a²+b²（-1≤t≤1），再由分類討論思想能求出橢圓上的點(diǎn)到上頂點(diǎn)的最大距離．

解答：（Ⅰ）解：由題，知

a+c=3 2a=4

⇒

a=2 c=1

，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；…（5分）
（Ⅱ）證明：橢圓上任意一點(diǎn)P（acosθ，bsinθ），
則點(diǎn)P到上頂點(diǎn)B（0，b）的距離為|PB|，|PB|=

(acosθ)2+(bsinθ-b)2

=

(b2-a2)sin2θ-2b2sinθ+a2+b2

，
構(gòu)造二次函數(shù)f（t）=-c²t²-2b²t+a²+b²（-1≤t≤1），
其對(duì)稱軸方程為t=-

b2

c2

＜0．
1°當(dāng)-

b2

c2

＜-1，
即b²＞c²時(shí)，f（t）≤f（-1）=4b²，
此時(shí)|PB|=

f(sinθ)

≤

4b2

=2b，
而2b=

2bc

c

≤

b2+c2

c

=

a2

c

，從而|PB|≤

a2

c

；
2°當(dāng)-

b2

c2

≥-1，即b²≤c²時(shí)，
f(t)≤f(-

b2

c2

)=

4(-c2)(a2+b2)-4b4

4(-c2)

=

a4

c2

，
此時(shí)|PB|=

f(sinθ)

≤

a4 c2

=

a2

c

；
綜上所述橢圓上任意一點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離都小于等于

a2

c

，
所以橢圓上的點(diǎn)到上頂點(diǎn)的最大距離d3≤

a2

c

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時(shí)要熟練掌握橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．