【題目】如圖，是邊長為的正方形，是的中點，點沿著路徑在正方形邊上運動所經(jīng)過的路程為，的面積為.

（1）求的解析式及定義域；

（2）求面積的最大值及此時點位置.

【答案】（1），函數(shù)的定義域為；

（2）面積的最大值為，此時點與點重合.

【解析】

（1）分點在線段（不包括點、）、（不包括點）、（不包括點），即對分、、三種情況討論，計算出關于的表達式，即可得出函數(shù)的解析式，并求出該函數(shù)的定義域；

（2）分段求出函數(shù)的每支函數(shù)的最大值，比較大小后得出函數(shù)的最大值，并求出對應的的值，即可得出對應的點的位置.

（1）①當點在線段（不包括點）時，，則，的高為，

此時，；

②當點在線段（不包括點）時，，，

的面積為，

的面積為，

直角梯形的面積為，

此時，的面積；

③當點在線段（不包括點）時，，的高為，

此時，.

綜上所述，，函數(shù)的定義域為；

（2）當時，，此時，函數(shù)單調遞增，則；

當時，，此時，函數(shù)單調遞減，則；

當時，，此時，函數(shù)單調遞減，則.

綜上所述，當時，函數(shù)取得最大值，即.

因此，當點與點重合時，的面積取到最大值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（Ⅱ）當時， ；當時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數(shù)來研究求得函數(shù)的單調區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，由此可知.利用導數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設 ，則.

∵， ，∴在上單調遞增，

從而得在上單調遞增，又∵，

∴當時， ，當時， ，

因此， 的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調遞減，在上單調遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設，

則 .

∵當時， ，∴在上單調遞增.

又∵，∴當時， ；當時， .

①當時， ，即，這時， ；

②當時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當時， ；

當時， .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調性,考查利用導數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；

（ Ⅱ ） 設直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某人在微信群中發(fā)了一個8元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領到整數(shù)元，且每人至少領到1元，則甲領到的錢數(shù)不少于其他任何人的概率為

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設有一組圓.下列四個命題正確的是（ ）

A. 存在，使圓與軸相切

B. 存在一條直線與所有的圓均相交

C. 存在一條直線與所有的圓均不相交

D. 所有的圓均不經(jīng)過原點

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù)： ,其中是儀器的月產(chǎn)量．(注：總收益=總成本+利潤)

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；

(2)當月產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】 依法納稅是每個公民應盡的義務，個人取得的所得應依照《中華人民共和國個人所得稅法》向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅）．年月日起，個稅稅額根據(jù)應納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為：個稅稅額＝應納稅所得額×稅率－速算扣除數(shù)．①應納稅所得額的計算公式為：應納稅所得額＝綜合所得收入額－基本減除費用－專項扣除－專項附加扣除－依法確定的其他扣除．②其中，“基本減除費用”（免征額）為每年元．稅率與速算扣除數(shù)見下表．

（１）設全年應納稅所得額為，應繳納個稅稅額為，求的解析式；

（２）小李全年綜合所得收入額為元，假定繳納的基本養(yǎng)老保險、基本醫(yī)療保險、失業(yè)保險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是，，，，專項附加扣除是元，依法確定其他扣除是元，那么他全年應繳納多少綜合所得個稅？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，定長為3的線段兩端點、分別在軸，軸上滑動，在線段上，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設點是軌跡上一點，從原點向圓作兩條切線分別與軌跡交于點，，直線，的斜率分別記為，.

①求證：；

②求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤分別為和（萬元），事先根據(jù)相關資料得出它們與投入資金（萬元）的數(shù)據(jù)分別如下表和圖所示：其中已知甲的利潤模型為，乙的利潤模型為．（為參數(shù)，且）.

（1）請根據(jù)下表與圖中數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤與投入資金（萬元）的函數(shù)模型

（2）今將萬資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并要求對甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于萬元．設對乙種產(chǎn)品投入資金（萬元），并設總利潤為（萬元），如何分配投入資金，才能使總利潤最大？并求出最大總利潤．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域為，若存在區(qū)間，使得稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.

（1）請直接寫出函數(shù)的所有的“和諧區(qū)間”；

（2）若為函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”，求的值；

（3）求函數(shù)的所有的“和諧區(qū)間”.

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