Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$|x|³-ax²+（6-a）|x|+b（a，b∈R），若f（x）有六個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． a＜-2，或a＞0
• B． 0＜a＜1
• C． 1＜a＜3
• D． 2＜a＜6

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（x）有六個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間等價(jià)為當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）有3個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等價(jià)為當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)不同的根，利用根的分布進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$|x|³-ax²+（6-a）|x|+b，
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
若f（x）有六個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則等價(jià)為當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）有3個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，
即當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)不同的根，
則當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（6-a）x+b，f′（x）=x²-2ax+6-a，
若當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)不同的根，
則$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=6-a＞0}\\{△=4{a}^{2}-4（6-a）＞0}\\{-\frac{-2a}{2}＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a＜6}\\{{a}^{2}+a-6＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＜6}\\{a＞2或a＜-3}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
則2＜a＜6，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）有3個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的大小是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．