如圖,四棱錐P-BCDE中,四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,△PAD為對邊三角形,平面PAD⊥平面ABCD,AB=2,E為AD的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求點E到平面PBC的距離.
考點:點、線、面間的距離計算
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)連接PE、EB、BD,分別在等邊△PAD和等邊△BAD中利用“三線合一”,證出PE⊥AD且BE⊥AD,結(jié)合線面垂直判定定理證出AD⊥平面PBE,從而可得AD⊥PB;
(2)過E作EF⊥PB于F,利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定與性質(zhì),證出EF⊥平面PBC,得EF長就是點E到平面PBC的距離.根據(jù)題中數(shù)據(jù)算出Rt△PEB中各邊之長,利用直角三角形的面積公式算出EF的長,即得點E到平面PBC的距離.
解答: 解:(1)連接PE、EB、BD,
∵△PAD為等邊三角形,E為AD的中點,∴PE⊥AD;
∵四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,E為AD的中點,
∴BE⊥AD;
∵PE∩BE=E,∴AD⊥平面PBE,
∵PB?平面PBE,∴AD⊥PB;
(2)過E作EF⊥PB于F
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE?平面PAD,PE⊥AD
∴PE⊥平面ABCD,
∵BC?平面ABCD,∴PE⊥BC
∵菱形ABCD中,AD∥BC,BE⊥AD,∴BE⊥BC
∵PE、BE是平面PBE內(nèi)的相交直線,∴BC⊥平面PBE
∵EF?平面PBE,∴BC⊥EF,
∵EF⊥PB且PB∩BC=B,∴EF⊥平面PBC,得EF長就是點E到平面PBC的距離
∵△ADB、△ADP是邊長為2的等邊三角形,
∴Rt△PEB中,PE=BE=
3
2
AD=
3
,得PB=
2
BE=
6

由此可得:EF=
PE•EB
PB
=
6
2
,即點E到平面PBC的距離等于
6
2
點評:本題在四棱錐中證明線線垂直,并求點到平面的距離.著重考查了面面垂直性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì),考查了等邊三角形的性質(zhì)和點到平面距離求法等知識,屬于中檔題.
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