Question

【題目】對于定義在上的函數(shù)，若函數(shù)滿足：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②存在常數(shù)p，使其值域為，則稱函數(shù)為的“漸近函數(shù)”；

（1）證明：函數(shù)是函數(shù)的漸近函數(shù)，并求此時實數(shù)p的值；

（2）若函數(shù)，證明：當(dāng)時，不是的漸近函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析；

【解析】

（1）通過令，利用“漸近函數(shù)”的定義逐條驗證即可；（2）通過記，結(jié)合“漸近函數(shù)”的定義可知，問題轉(zhuǎn)化為求時，的最大值問題，進而計算可得的范圍，從而證明結(jié)論.

（1）根據(jù)題意，令，

則，

所以，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

所以，

于是函數(shù)是函數(shù)，的漸近函數(shù)，

此時實數(shù).

（2）即，

，

假設(shè)函數(shù)，的漸近函數(shù)是，

則當(dāng)時，，即，

令函數(shù)，，

則，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

且

所以，

所以，

所以當(dāng)時，不是的漸近函數(shù).