試題分析:本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、向量垂直的充要條件、兩點間距離公式、三角形面積公式等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問,利用拋物線的標準方程得到焦點
的坐標,從而得到向量
坐標,聯(lián)立2個拋物線方程,解方程組,可求出A點坐標,從而得到向量
的坐標,由于
,所以
,利用這個方程解出P的值,從而得到拋物線
的方程;第二問,先設出過點O的直線方程,直線和拋物線
聯(lián)立,得到M點坐標,直線和拋物線
聯(lián)立得到N點坐標,由于
,利用兩點間距離公式得到3個邊長,再利用基本不等式求面積的最小值.
試題解析:(1)由已知得:
,
,∴
1分
聯(lián)立
解得
或
,即
,
,
∴
3分
∵
,∴
,即
,解得
,∴
的方程為
. 5分
『法二』設
,有
①,由題意知,
,
,∴
1分
∵
,∴
,有
,
解得
, 3分
將其代入①式解得
,從而求得
,
所以
的方程為
. 5分
(2)設過
的直線方程為
聯(lián)立
得
,聯(lián)立
得
7分
在直線
上,設點
到直線
的距離為
,點
到直線
的距離為
則
8分
10分
當且僅當
時,“
”成立,即當過原點直線為
時,11分
△
面積取得最小值
. 12分
『法二』聯(lián)立
得
,
聯(lián)立
得
, 7分
從而
,
點
到直線
的距離
,進而
9分
令
,有
, 11分
當
,即
時,
即當過原點直線為
時,△
面積取得最小值
. 12分