4．已知雙曲線的一個焦點(diǎn)F，點(diǎn)P在雙曲線的一條漸近線上，點(diǎn)O為雙曲線的對稱中心，若△OFP為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�
A．$\sqrt{6}$B．$\sqrt{2}$C．2D．$\sqrt{3}$

分析 設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），P在漸近線y=$\frac{a}$x上，△OFP為等腰直角三角形，只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，均有∠POF=45°，運(yùn)用直線的斜率公式和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
F（c，0），P在漸近線y=$\frac{a}$x上，
△OFP為等腰直角三角形，
只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，
均有∠POF=45°，
即有$\frac{a}$=1，即a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用漸近線方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
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A．$\frac{5}{4}$B．$\frac{6}{5}$C．$\frac{5}{3}$D．$\frac{8}{5}$

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A．$\frac{\sqrt{3}}{4}$B．$\frac{3\sqrt{3}}{4}$C．$\frac{9\sqrt{3}}{4}$D．$\frac{27\sqrt{3}}{4}$

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A．2B．3C．$\frac{1}{3}$D．4

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