Question

已知函數f（x）=4x²-kx-8，x∈[1，5]，其中k∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）具有單調性，求k的取值范圍；
（Ⅱ）求函數f（x）的最小值（用含k的式子表示）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數f（x）=4x²-kx-8
∴函數f（x）的圖象的對稱軸是…（2分）
∵x∈[1，5]，函數f（x）具有單調性
∴或，即k≤8或k≥40
∴k的取值范圍是k≤8或k≥40…（6分）
（Ⅱ）①當k≤8時，函數為單調增函數，f（x）_min=f（1）=-4-k；…（8分）
②當k≥40時，函數為單調減函數，f（x）_min=f（5）=92-5k；…（10分）
③當8＜k＜40時，函數在對稱軸處取得最小，；…（12分）
綜上所述，當k≤8時，f（x）_min=-4-k；
當k≥40時，f（x）_min=92-5k；
當8＜k＜40時，．
分析：（Ⅰ）根據函數f（x）=4x²-kx-8，可得函數f（x）的圖象的對稱軸是，利用x∈[1，5]，函數f（x）具有單調性，可得或，從而可求k的取值范圍；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結論進行分類討論：①當k≤8時，函數為單調增函數，故f（x）_min=f（1）；②當k≥40時，函數為單調減函數，f（x）_min=f（5）；③當8＜k＜40時，函數在對稱軸處取得最小，從而可得結論．
點評：本題重點考查二次函數的單調性，考查二次函數的最值，解題的關鍵是確定函數的對稱軸，確定函數在指定區(qū)間上的單調性．