【題目】已知函數.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)證明當時,關于的不等式恒成立;
(Ⅲ)若正實數滿足,證明.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析:(1)求導函數,從而可確定函數的單調性;(2)構造函數,利用導數研究其最值,將恒成立問題進行轉化;(3)將代數式放縮,構造關于的一元二次不等式,解不等式即可.
試題解析:(Ⅰ) ,
由,得,
又,所以.
所以的單調減區(qū)間為,函數的增區(qū)間是.
(Ⅱ)令 ,
所以 .
因為,
所以.
令,得.
所以當,;
當時,.
因此函數在是增函數,在是減函數.
故函數的最大值為
.
令,因為,
又因為在是減函數.
所以當時,,
即對于任意正數總有.
所以關于的不等式恒成立.
(Ⅲ)由,
即 ,
從而 .
令,則由得,.
可知,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.
所以,
所以,
又,
因此成立.
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【題目】袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球,從A中摸出一個紅球的概率是 ,從B中摸出一個紅球的概率為p.
(1)從A中又放回的摸球,每次摸出一個,共摸5次 ①恰好有3次摸到紅球的概率;
②第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率.
(2)若A、B兩個袋子中的球之比為12,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率是 ,求p的值.
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【題目】在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.
(1)若a=2 ,A= ,且△ABC的面積S=2 ,求b,c的值;
(2)若sin(C﹣B)=sin2B﹣sinA,試判斷△ABC的形狀.
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【題目】已知橢圓過點,橢圓的左焦點為,右焦點為,點是橢圓上位于軸上方的動點,且,直線與直線分別交于兩點.
(1)求橢圓的方程及線段的長度的最小值;
(2)是橢圓上一點,當線段的長度取得最小值時,求的面積的最大值.
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【題目】質檢部門從企業(yè)生產的產品中抽取100件,測量這些產品的質量指標值,由測量結果得到如圖的頻率分布直方圖,質量指標值落在區(qū)間,,內的頻率之比為.
(Ⅰ)求這些產品質量指標值落在區(qū)間內的頻率;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,從該企業(yè)生產的這種產品中隨機抽取3件,記這3件產品中質量指標值位于區(qū)間內的產品件數為,求的分布列與數學期望.
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【題目】已知函數f(x)滿足f(x﹣1)=﹣f(﹣x+1),且當x≤0時,f(x)=x3 , 若對任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2 f(x)恒成立,則實數t的取值范圍是 .
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【題目】已知數列{an}的前n項和Sn=1﹣nan(n∈N*)
(1)計算a1 , a2 , a3 , a4;
(2)猜想an的表達式,并用數學歸納法證明你的結論.
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