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【題目】已知函數.

(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;

(Ⅱ)證明當時,關于的不等式恒成立;

(Ⅲ)若正實數滿足,證明.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析

【解析】試題分析:(1)求導函數,從而可確定函數的單調性;(2)構造函數,利用導數研究其最值,將恒成立問題進行轉化;(3)將代數式放縮,構造關于的一元二次不等式,解不等式即可.

試題解析:(Ⅰ) ,

,得,

,所以.

所以的單調減區(qū)間為,函數的增區(qū)間是.

(Ⅱ)令

所以 .

因為,

所以.

,得.

所以當;

時,.

因此函數是增函數,在是減函數.

故函數的最大值為

.

,因為,

又因為是減函數.

所以當時,,

即對于任意正數總有.

所以關于的不等式恒成立.

(Ⅲ)由,

從而 .

,則由得,.

可知,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.

所以,

所以

,

因此成立.

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