Question

已知拋物線的頂點為（0，0），準線為x=-2，不垂直于x軸的直線x=ty+1與該拋物線交于A，B兩點，圓M以AB為直徑．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）圓M交x軸的負半軸于點C，是否存在實數(shù)t，使得△ABC的內切圓的圓心在x軸上？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設拋物線方程為y²=ax，由準線為x=-2，能求出拋物線方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂y₂），C（x₀，0），由

x=ty+1 y2=8x

，得：y²-8ty-8=0，由此利用韋達定理能求出t的值．

解答： 解：（Ⅰ）設拋物線方程為y²=ax，
又a=2×4=8，
∴拋物線方程為y²=8x．…（3分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂y₂），C（x₀，0）
由

x=ty+1 y2=8x

，得：y²-8ty-8=0，…（5分）
則

y1+y2=8t y1y2=-8

，
由點C在以AB為直徑的圓上得，

CA

•

CB

=0．…（7分）
又

CA

=(x1-x0，y1-0)，

CB

=(x2-x0，y2-0)，
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0，
又x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，
∴

y 2 1 y 2 2

64

-(t(y1+y2)+2)x0+

x

2 0

+y1y2=0，
∴

x

2 0

-(8t2+2)x0-7=0（*），…（9分）
若存在t，使得△ABC的內心在x軸上，
則k_CA+k_CB=0…（12分）
∴

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=0，
即2ty₁y₂+（y₁+y₂）（1-x₀）=0，
即2t（-8）+8t（1-x₀）=0，
∴x₀=-1．…（14分）
結合（*）得，t=±

2

2

．…（15分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．