精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，則a的取值范圍是（　�。�
A．（0，1]B．（0，2]C．（1，2]D．（1，3]
由題意設f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且0＜x＜a，
則原題可轉化為f（x）=0在（0，a）有解，求a的范圍，
∴f′（x）=1+lnx-1-ln（a-x）=lnx-ln（a-x）
則f″（x）=
1
x
-
1
x-a
=
-a
x(x-a)
，
由題意得0＜x＜a，又∵a＞0，∴f″（x）恒大于0，
∴f′（x）在（0，a）為增函數，
令f′（x）=0，得x=
a
2
，則0＜
a
2
＜a，
∴f′（x）在（0，
a
2
）恒小于零，在（
a
2
，a）恒大于零，
則f（x）在（0，
a
2
）遞減，在（
a
2
，a）遞增
要使f（x）在（0，a）有解，
則f（x）的最小值：f（
a
2
）=
a
2
ln
a
2
+（a-
a
2
）ln（a-
a
2
）=aln（
a
2
）≤0，
設g（x）=
x
2
lnx，x＞0，
且g′(x)=
1
2
lnx+
1
2
=0，得x=
1
e
，
∴g（x）在（0，
1
e
）遞減，在（
1
e
，+∞）遞增，
∵當x趨向于零時，g（x）=
x
2
lnx＜0，最小值g（
1
e
）＜0，
且g（1）=
1
2
ln1=0，此時a=2，
又由a＞0，解得a的范圍為（0，2]，
故選B．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，則a的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，
（I）求函數f（x）在點M（e，f（e））處的切線方程；
（II）設F（x）=ax2-（a+2）x+f′（x）（a＞0），討論函數F（x）的單調性；
（III）設函數H（x）=f（x）+g（x），是否同時存在實數m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=H(x)(x∈[
1e
，e])都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：單選題

設a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，則a的取值范圍是


  1. A.
    （0，1]
  2. B.
    （0，2]
  3. C.
    （1，2]
  4. D.
    （1，3]

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2012-2013學年吉林省長春十一高高二（下）期初數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

設a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，則a的取值范圍是（ ）
A．（0，1]
B．（0，2]
C．（1，2]
D．（1，3]

查看答案和解析>>

同步練習冊答案