Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中點，E是線段D₁O上一點，且|D₁E|=λ|EO|．
（1）求證：DB₁⊥平面CD₁O；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直得D₁D⊥AC，又AC⊥BD，從而AC⊥平面D₁DBB₁，進而AC⊥B₁D，同理可證D₁C⊥B₁D，由此能證明B₁D⊥平面CD₁O，．
（2）由已知得AC⊥DE，要使平面CDE⊥平面CD₁O，只需DE⊥平面CD₁O，即需DE⊥D₁O，設(shè)D₁D=2，則DO=

2

，由此能求出

D1E

EO

=2，由|D₁E|=λ|EO|，得λ=2．

解答： 解：（1）證明：∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面D₁DBB₁，∴AC⊥B₁D，
同理可證D₁C⊥B₁D，∴B₁D⊥平面CD₁O．
（2）解：∵O為AC的中點，∴在△D₁AC中，D₁O⊥AC，
又∵D₁D⊥AC，∴AC⊥平面D₁OD，∴AC⊥DE，
要使平面CDE⊥平面CD₁O，只需DE⊥平面CD₁O，
即需DE⊥D₁O，（∵PE⊥AC，∴DE⊥平面CD₁O），
設(shè)D₁D=2，則DO=

2

，∴在Rt△D₁DO中，OD₁=

6

，
∴DE=

2 2

6

=

2 3

3

，
∴D1E=

4-( 2 3 3 )2

=

2 6

3

，
∴EO=

6

3

，∴

D1E

EO

=2，∵|D₁E|=λ|EO|，∴λ=2．

點評：本題考查線面垂直的證明，考查使得面面垂直的實數(shù)值的求法，考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，是中檔題．