Question

經過調查發(fā)現(xiàn)，某種新產品在投放市場的100天中，前40天，其價格直線上升，（價格是一次函數(shù)），而后60天，其價格則呈直線下降趨勢，現(xiàn)抽取其中4天的價格如下表所示：

時間	第4天	第32天	第60天	第90天
價格/千元	23	30	22	7

（1）寫出價格f（x）關于時間x的函數(shù)表達式（x表示投入市場的第x天）；
（2）若銷售量g（x）與時間x的函數(shù)關系是g（x）=-

1

3

x+

109

3

（1≤x≤100，x∈N），求日銷售額的最大值，并求第幾天銷售額最高？

Answer 1

分析：（1）價格直線上升，直線下降；說明價格函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，由表中對應關系用待定系數(shù)法易求f（x）的表達式；
（2）由銷售額=銷售量×時間，得日銷售額函數(shù)S（x）的解析式，從而求出s（x）的最大值．

解答：解：（1）由題意知，當1≤x＜40時，一次函數(shù)y=ax+b過點A（4，23），B（32，30）；
代入函數(shù)求得a=

1

4

，b=22；
當40≤x≤100時，一次函數(shù)y=ax+b過點C（60，22），D（90，7）；
代入函數(shù)求得a=-

1

2

，b=52；
∴函數(shù)解析式為：y=f(x)=

1 4 x+22，(1≤x＜40，x∈N) - 1 2 x+52  &(40≤x≤100，x∈N)

（2）設日銷售額為S千元，當1≤x＜40時，s（x）=(

1

4

x+22)•(-

1

3

x+

109

3

)=-

1

12

(x-

21

2

)2+

38809

48

；
∴當x=10或11時，函數(shù)有最大值s（x）_max=

9702

12

=808.5（千元）；
當40≤x≤100時，s（x）=(-

1

2

x+52)•(-

1

3

x+

109

3

)=

1

6

(x2-213x+11336)；
∴當x=40時，s（x）_max=736（千元）．
綜上所知，日銷售額最高是在第10天或第11天，最高值為808.5千元．

點評：本題是建立函數(shù)模型，考查求分段函數(shù)的解析式和最大值的應用題，這里是求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，因計算量大，有點難度．